《大学物理AⅡ》第一学期期末试卷A (精选04)
可能用到的物理常数
真空介电常量 $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ \mathrm{C^2 \cdot N^{-1} \cdot m^{-2}}$，真空磁导率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ \mathrm{T \cdot m \cdot A^{-1}}$，
普朗克常量 $h = 6.63 \times 10^{-34} \ \mathrm{J \cdot s}$，基本电荷 $e = 1.60 \times 10^{-19} \ \mathrm{C}$。
一、选择题（每题 3 分 共 24 分）
- 在已知静电场分布的条件下，任意两点 $P_1$ 和 $P_2$ 之间的电势差决定于
- A. $P_1$ 和 $P_2$ 两点的位置
- B. $P_1$ 和 $P_2$ 两点处的电场强度的大小和方向
- C. 试验电荷所带电荷的正负
- D. 试验电荷的电荷大小
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答案：A
解析：
电势差 $U_{P_1P_2} = \int_{P_1}^{P_2} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l}$，仅由电场分布和两点的位置决定，与试验电荷无关。
- A：电场分布确定后，电势差仅取决于起点和终点的位置。✅
- B：电势差是电场的线积分，不是某点场强的简单函数。❌
- C：试验电荷的正负不影响电势差的定义。❌
- D：试验电荷的大小不影响电势差的定义。❌
难度: ⭐ 考点: #电势差 #静电场 #电场线积分
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📖 相关公式与知识点:
- 电势差定义：$U_{P_1P_2} = V_{P_1} - V_{P_2} = \int_{P_1}^{P_2} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l}$
- 静电场是保守场，电势差与路径无关，仅由起止点位置决定
- 电场力做功 $W = q_0 U_{P_1P_2}$，做功与试验电荷有关，但电势差本身与试验电荷无关
思路分析
电势差是电场本身的属性，由电荷分布决定，与试验电荷无关。类比：两点间的高度差与是否放物体无关。
易错点
- 混淆电势差与电场力做功（做功与试验电荷有关，电势差无关）
- 误认为电势差取决于某点场强而非积分
🔄 举一反三
- 将试验电荷 $q_0$ 从 $P_1$ 移到 $P_2$，电场力做功与哪些因素有关？
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答案：与 $q_0$ 的大小、正负以及 $P_1$、$P_2$ 的位置均有关 解析：电场力做功 $W = q_0 U_{P_1P_2}$，其中 $U_{P_1P_2}$ 仅由位置决定，但做功还与 $q_0$ 有关。
- 一个中性空腔导体，腔内有一个带正电的带电体，当另一中性导体接近空腔导体时，腔内各点的电势
- A. 升高
- B. 降低
- C. 不变
- D. 不能确定
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答案：B
解析：
空腔导体外表面带正电荷 $+q$（由腔内正电荷感应），当另一中性导体靠近时，中性导体近端感应负电荷 $-q'$，远端感应正电荷 $+q'$。由于 $-q'$ 距空腔导体更近，其对空腔导体电势的贡献（负值）绝对值大于 $+q'$ 的贡献（正值），净效果使空腔导体电势降低。腔内各点电势等于导体电势，因此也降低。
- A：感应负电荷更近，净效果使电势降低，非升高。❌
- B：中性导体靠近后，近端负电荷使空腔导体电势降低。✅
- C：外部导体的靠近改变了空间电势分布，腔内电势会变化。❌
- D：可以确定电势变化方向。❌
难度: ⭐⭐ 考点: #静电感应 #导体 #电势
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📖 相关公式与知识点:
- 导体空腔：内表面感应电荷与腔内电荷等量异号，外表面感应等量同号电荷
- 电势叠加原理：$V = \sum \dfrac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i}$
- 导体是等势体，腔内各点电势等于导体电势
思路分析
关键判断感应电荷对空腔导体电势的净贡献。近端负电荷贡献大（距离近），远端正电荷贡献小（距离远），净效果为负。
易错点
- 误认为中性导体对电势无影响（虽然净电荷为零，但电荷分布不对称）
- 忽略距离对电势贡献的影响
🔄 举一反三
- 若将带正电的导体（而非中性导体）接近空腔导体，腔内电势如何变化？
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答案：升高 解析：带正电导体靠近时，其正电荷对空腔导体电势贡献为正，且距离较近，净效果使电势升高。
- 一空气平行板电容器，充电后把电源断开，这时电容器中储存的能量为 $W$，然后在两极板之间充满相对介电常数为 $\varepsilon_r$ 的各向同性均匀电介质，则该电容器中储存的能量为
- A. $\varepsilon_r W$
- B. $W/\varepsilon_r$
- C. $(1+\varepsilon_r)W$
- D. $W$
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答案：B
解析：
断开电源后，电容器极板上的电荷 $Q$ 保持不变。
充入介质前：$C = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$，$W = \dfrac{Q^2}{2C}$
充入介质后：$C' = \varepsilon_r C$，$W' = \dfrac{Q^2}{2C'} = \dfrac{Q^2}{2\varepsilon_r C} = \dfrac{W}{\varepsilon_r}$
- A：$\varepsilon_r W$ 是若保持电压不变时的结果，但本题断开电源。❌
- B：$Q$ 不变，$C$ 增大 $\varepsilon_r$ 倍，$W' = W/\varepsilon_r$。✅
- C：无此关系。❌
- D：能量已改变。❌
难度: ⭐⭐ 考点: #电容器 #电介质 #静电能
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📖 相关公式与知识点:
- 平行板电容器电容：$C = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$，充介质后 $C' = \varepsilon_r C$
- 静电能：$W = \dfrac{Q^2}{2C} = \dfrac{1}{2}CU^2 = \dfrac{1}{2}QU$
- 断开电源→$Q$ 不变；接电源→$U$ 不变
思路分析
关键判断哪个量不变。断开电源→电荷 $Q$ 不变，选 $W = Q^2/(2C)$ 公式最方便。
易错点
- 混淆"断开电源"（$Q$ 不变）和"接电源"（$U$ 不变）两种情况
- 若接电源充介质：$W' = \frac{1}{2}C'U^2 = \varepsilon_r W$，结果完全不同
🔄 举一反三
- 若电容器始终接在电源上，充入介质后储能变为多少？
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答案：$\varepsilon_r W$解析：接电源时电压 $U$ 不变，$C' = \varepsilon_r C$，$W' = \frac{1}{2}C'U^2 = \varepsilon_r \cdot \frac{1}{2}CU^2 = \varepsilon_r W$。
- 赤道处的地磁场沿水平面并指向北。假设大气电场指向地面。为使电子的运动不发生偏斜，发射电子的方向为
- A. 向北
- B. 向东
- C. 向南
- D. 向西
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答案：B
解析：
建立坐标系：$x$ 轴向东，$y$ 轴向北，$z$ 轴向上。
地磁场 $\vec{B} = B\hat{y}$（向北），大气电场 $\vec{E} = -E\hat{z}$（指向地面）。
电子受力分析：
- 电场力：$\vec{F}_E = (-e)(-E\hat{z}) = eE\hat{z}$（向上）
- 磁场力：$\vec{F}_B = (-e)(\vec{v} \times \vec{B})$
要不偏斜，需 $\vec{F}_E + \vec{F}_B = 0$，即 $\vec{F}_B = -eE\hat{z}$（向下）。
设 $\vec{v} = v_x\hat{x}$（向东），则 $\vec{v} \times B\hat{y} = v_xB\hat{z}$，$\vec{F}_B = (-e)v_xB\hat{z} = -ev_xB\hat{z}$。
令 $ev_xB = eE$，即 $v_x = E/B > 0$，方向向东。
- A：向北 $\vec{v} \times \vec{B} = 0$，无磁场力，不能平衡电场力。❌
- B：向东，磁场力向下，恰好平衡向上的电场力。✅
- C：向南，磁场力向上，与电场力同向。❌
- D：向西，磁场力向上，与电场力同向。❌
难度: ⭐⭐ 考点: #洛伦兹力 #电场力 #带电粒子运动
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📖 相关公式与知识点:
- 洛伦兹力：$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$
- 电场力：$\vec{F} = q\vec{E}$
- 电子电荷 $q = -e < 0$，注意负号对力方向的影响
思路分析
先确定电场力方向（电子带负电，力与电场方向相反→向上），再找速度方向使磁场力恰好向下抵消。用右手定则判断 $\vec{v} \times \vec{B}$ 方向，再考虑电子负电荷的翻转。
易错点
- 忘记电子带负电，力的方向与 $\vec{v} \times \vec{B}$ 相反
- 混淆正负电荷在电磁场中的偏转方向
🔄 举一反三
- 若将电子换为质子，其他条件不变，质子应向哪个方向发射才不偏斜？
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答案：向西 解析：质子带正电 $q = +e$，电场力 $\vec{F}_E = e(-E\hat{z}) = -eE\hat{z}$（向下）。需磁场力向上：$e(\vec{v} \times B\hat{y}) = eE\hat{z}$，即 $\vec{v} \times B\hat{y} = E\hat{z}$。设 $\vec{v} = -v_x\hat{x}$（向西），则 $(-v_x\hat{x}) \times B\hat{y} = -v_xB\hat{z}$，需 $-v_xB = E$，$v_x = -E/B < 0$，即向西。
无限长直密绕螺线管半径为 $r$，其中通有电流。在螺线管内产生磁感应强度 $\vec{B}$。在螺线管外同轴地套一粗细均匀的金属圆环，金属圆环由两个半环组成，a、b 为其分界面，半环电阻分别为 $R_1$ 和 $R_2$，且 $R_1 > R_2$，如图所示（图中螺线管垂直纸面放置）。当螺线管内的磁感应强度 $\vec{B}$ 增大时，将有
- A. a、b 两点电势相等
- B. a 点电势比 b 点高
- C. a 点电势比 b 点低
- D. 此问题中谈 a、b 两点电势无意义
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答案：B
解析：
螺线管内 $\vec{B}$ 增大时，由法拉第定律，在金属环中产生感应电动势 $\varepsilon$，方向为逆时针（由楞次定律判断）。
整个环的感应电动势均匀分布在两个半环上，每个半环的电动势为 $\varepsilon/2$。
环中电流：$I = \dfrac{\varepsilon}{R_1 + R_2}$
从 a 经 $R_1$ 到 b 的电压降（含源电路欧姆定律）：
因为 $R_1 > R_2$，所以 $U_a - U_b > 0$，即 a 点电势比 b 点高。
- A：只有 $R_1 = R_2$ 时才相等。❌
- B：$R_1 > R_2$ 时 a 点电势高于 b 点。✅
- C：方向判断错误。❌
- D：含源电路中两点间电势差有意义。❌
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #电磁感应 #感生电动势 #含源电路 #电势差
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📖 相关公式与知识点:
- 法拉第定律：$\varepsilon = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$
- 含源电路欧姆定律：$U_a - U_b = \pm\varepsilon_{ab} \mp IR_{ab}$
- 感生电动势均匀分布在环上
思路分析
本题关键是含源电路分析。将环视为两个含源支路并联，每个半环既有电阻又有电动势。用含源电路欧姆定律求 a、b 间电势差。
易错点
- 忘记每个半环上也有电动势（不仅电阻上有压降）
- 误认为含源电路两点间电势差无意义
- 电动势方向判断错误
🔄 举一反三
- 若 $R_1 = R_2$，a、b 两点电势差为多少？
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答案：$0$（a、b 两点电势相等） 解析：$U_a - U_b = \dfrac{\varepsilon(R_1 - R_2)}{2(R_1 + R_2)} = 0$，当 $R_1 = R_2$ 时电势差为零。
- 关于同时性的以下结论中，正确的是
- A. 在一惯性系不同地点不同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生
- B. 在一惯性系不同地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生
- C. 在一惯性系同一地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生
- D. 在一惯性系同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生
查看答案与解析
答案：C
解析：
由洛伦兹变换：$\Delta t' = \gamma\left(\Delta t - \dfrac{v\Delta x}{c^2}\right)$
- A：$\Delta x \neq 0$，$\Delta t \neq 0$，$\Delta t'$ 的符号取决于 $v\Delta x/c^2$ 与 $\Delta t$ 的大小关系，可能同时也可能不同时。❌
- B：$\Delta x \neq 0$，$\Delta t = 0$，则 $\Delta t' = -\gamma v\Delta x/c^2 \neq 0$，一定不同时。❌
- C：$\Delta x = 0$，$\Delta t = 0$，则 $\Delta t' = 0$，一定同时。✅
- D：若 $\Delta x = 0$ 且 $\Delta t = 0$，则 $\Delta t' = 0$，仍然同时。❌
难度: ⭐⭐ 考点: #狭义相对论 #同时性 #洛伦兹变换
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📖 相关公式与知识点:
- 洛伦兹变换：$\Delta t' = \gamma\left(\Delta t - \dfrac{v\Delta x}{c^2}\right)$
- 同时性的相对性：不同地点的同时事件在其他惯性系中不同时
- 同一地点的同时事件在所有惯性系中同时（因果性保证）
思路分析
用洛伦兹变换公式逐一验证。关键看 $\Delta x$ 和 $\Delta t$ 的取值对 $\Delta t'$ 的影响。
易错点
- 混淆"同地同时"和"异地同时"的相对性
- 忽略因果性要求（同地事件有因果联系，同时性绝对）
🔄 举一反三
- 在惯性系 S 中，事件 1 在 $(x_1, t_1)$，事件 2 在 $(x_2, t_2)$，且 $t_2 > t_1$。能否找到一个惯性系使事件 2 先于事件 1 发生？
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答案：若两事件有因果联系（$\Delta x/\Delta t < c$），则不能；若无因果联系（$\Delta x/\Delta t > c$），则能 解析：由洛伦兹变换 $\Delta t' = \gamma(\Delta t - v\Delta x/c^2)$，要使 $\Delta t' < 0$，需 $v\Delta x/c^2 > \Delta t$，即 $v > c^2\Delta t/\Delta x$。若 $\Delta x/\Delta t > c$（类空间隔），则 $c^2\Delta t/\Delta x < c$，存在 $v < c$ 使时序反转。若 $\Delta x/\Delta t < c$（类时间隔），则不存在 $v < c$ 使时序反转。
- 假定氢原子原是静止的，则氢原子从 $n = 3$ 的激发状态直接通过辐射跃迁到基态时的反冲速度大约为（氢原子的质量 $m = 1.67 \times 10^{-27} \ \mathrm{kg}$）
- A. $4 \ \mathrm{m/s}$
- B. $10 \ \mathrm{m/s}$
- C. $100 \ \mathrm{m/s}$
- D. $400 \ \mathrm{m/s}$
查看答案与解析
答案：A
解析：
氢原子从 $n=3$ 跃迁到 $n=1$ 辐射光子的能量：
光子波长：
光子动量：
由动量守恒，氢原子反冲动量等于光子动量：
难度: ⭐⭐ 考点: #玻尔模型 #动量守恒 #氢原子跃迁
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📖 相关公式与知识点:
- 氢原子能级：$E_n = -13.6/n^2 \ \mathrm{eV}$
- 光子能量与波长：$E = hc/\lambda$
- 光子动量：$p = h/\lambda$
- 动量守恒：$mv = p_{光子}$
思路分析
先算光子能量→波长→动量→反冲速度。注意氢原子质量远大于光子动量，反冲速度很小。
易错点
- 忘记动量守恒，只考虑能量守恒
- 混淆能级跃迁的能量差计算
- 单位换算错误（eV → J）
🔄 举一反三
- 氢原子从 $n=2$ 跃迁到 $n=1$ 时，反冲速度约为多少？
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答案：约 $3.3 \ \mathrm{m/s}$解析：$E = 13.6(1 - 1/4) = 10.2 \ \mathrm{eV}$，$\lambda = hc/E \approx 121.6 \ \mathrm{nm}$，$p = h/\lambda \approx 5.45 \times 10^{-27} \ \mathrm{kg \cdot m/s}$，$v = p/m \approx 3.3 \ \mathrm{m/s}$。
- 当一个微观粒子被限制在极小的空间里，它将会运动得十分剧烈，这是由于
- A. 质能守恒
- B. 动量守恒
- C. 不确定性原理
- D. 泡利不相容原理
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答案：C
解析：
由海森堡不确定性原理：$\Delta x \cdot \Delta p \geq \dfrac{\hbar}{2}$
当粒子被限制在极小空间时，$\Delta x$ 很小，则 $\Delta p$ 必须很大。动量的不确定度大意味着动能大，粒子运动剧烈。
- A：质能守恒 $E = mc^2$ 与空间限制无关。❌
- B：动量守恒是孤立系统的性质，与空间限制无关。❌
- C：不确定性原理直接解释了空间限制与动量（动能）的关系。✅
- D：泡利不相容原理针对费米子，且解释的是为何不能占据同一量子态，非本题原因。❌
难度: ⭐ 考点: #不确定性原理 #量子力学 #零点能
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📖 相关公式与知识点:
- 海森堡不确定性原理：$\Delta x \cdot \Delta p \geq \dfrac{\hbar}{2}$
- 位置越确定→动量越不确定→动能越大
- 零点能：即使基态，粒子也有非零动能
思路分析
不确定性原理是量子力学的基本原理，直接联系了位置限制和动量（能量）的关系。
易错点
- 混淆不确定性原理与泡利不相容原理
- 不确定性原理不是测量误差，而是量子力学的基本规律
🔄 举一反三
- 一维无限深势阱中，势阱宽度 $a$ 越小，基态能量如何变化？
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答案：基态能量越大 解析：$E_1 = \dfrac{h^2}{8ma^2}$，$a$ 越小，$E_1$ 越大。这正是不确定性原理的体现：$\Delta x \sim a$ 减小→$\Delta p$ 增大→$E$ 增大。
二、填空题（共 30 分）
1.（4 分）如图所示的空间内电场强度分量为 $E_x = bx^{1/2}$，$E_y = E_z = 0$，其中 $b = 800 \ \mathrm{N \cdot m^{-1/2}/C}$。则通过正立方体的电通量为______；若 $a = 10 \ \mathrm{cm}$，则正立方体的总电荷为______。
查看答案与解析
答案：$1.05 \ \mathrm{N \cdot m^2/C}$，$9.29 \times 10^{-12} \ \mathrm{C}$
解析：
正立方体边长为 $a$，位于 $x = a$ 到 $x = 2a$ 之间。
第一步：计算电通量
只有垂直于 $x$ 轴的两个面有电通量：
代入 $b = 800$，$a = 0.1 \ \mathrm{m}$：
第二步：由高斯定理求总电荷
难度: ⭐⭐ 考点: #高斯定理 #电通量 #非均匀电场
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📖 相关公式与知识点:
- 高斯定理：$\oint_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \dfrac{q_{内}}{\varepsilon_0}$
- 电通量计算：只有垂直于电场方向的面有贡献
- 非均匀电场中，通量需用端面场强差计算
思路分析
电场仅沿 $x$ 方向，只需计算 $x$ 方向两个面的通量之差。再用高斯定理由通量求电荷。
易错点
- 立方体位置判断错误（从 $x=a$ 到 $x=2a$，而非从 $x=0$ 到 $x=a$）
- $(0.1)^{5/2}$ 的计算：$(0.1)^{5/2} = (0.1)^2 \times \sqrt{0.1} = 0.01 \times 0.3162 = 3.162 \times 10^{-3}$
🔄 举一反三
- 若 $E_x = bx$（线性分布），立方体从 $x=0$ 到 $x=a$，电通量和总电荷各为多少？
查看练习答案与解析
答案：$\Phi = ba^3$，$q = \varepsilon_0 ba^3$解析：$E_x(0) = 0$，$E_x(a) = ba$，$\Phi = ba \cdot a^2 - 0 = ba^3$，$q = \varepsilon_0 ba^3$。
2.（3 分）如图所示，将电矩为 $\vec{p}$ 的电偶极子放在真空中，将一电荷为 $q$ 的点电荷从 A 点沿半径为 $R$ 的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，$R \gg$ 电偶极子正负电荷之间距离）移到 B 点，则此过程中电场力所作的功为______。
查看答案与解析
答案：$-\dfrac{qp}{2\pi\varepsilon_0 R^2}$
解析：
电偶极子在远处的电势（$R \gg d$）：
其中 $\theta$ 为位矢与电偶极矩方向的夹角。
由图可知，A 点在偶极子负电荷一侧（$\theta_A = \pi$），B 点在正电荷一侧（$\theta_B = 0$）：
电场力做功：
难度: ⭐⭐ 考点: #电偶极子 #电势 #电场力做功
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 电偶极子电势：$V = \dfrac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$（远场近似）
- 电场力做功：$W = q(V_A - V_B)$
- 静电场是保守场，做功与路径无关
思路分析
利用电偶极子远场电势公式，分别计算 A、B 两点电势，再由 $W = q(V_A - V_B)$ 求功。
易错点
- A、B 两点对应的 $\theta$ 角判断错误导致正负号错误
- 电偶极子电势公式中 $\theta$ 是与偶极矩方向的夹角
🔄 举一反三
- 若将点电荷从 A 沿圆弧移到偶极子中垂线上的 C 点（$\theta_C = \pi/2$），电场力做功为多少？
查看练习答案与解析
答案：$-\dfrac{qp}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$解析：$V_C = 0$（中垂线上电势为零），$W = q(V_A - V_C) = q \cdot \left(-\dfrac{p}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\right) = -\dfrac{qp}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$。
3.（3 分）如图所示，一半径为 $a$ 的导体球 A，带正电荷 $q$；另有一内外半径分别为 $b$ 和 $c$ 的导体球壳 B，带正电荷 $Q$，现把球壳 B 罩在 A 球的外面使 A、B 同心，然后使得 A 球接地，则 A 球带电量为______。
查看答案与解析
答案：$-\dfrac{abQ}{ab + bc - ac}$
解析：
设 A 球接地后带电量为 $q'$，则球壳 B 内表面感应电荷为 $-q'$，外表面电荷为 $Q + q'$。
A 球接地，电势为零。A 球电势由三部分电荷贡献：
整理：
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #导体 #静电感应 #接地 #电势叠加
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 接地条件：导体电势为零
- 同心导体球壳的电势叠加
- 感应电荷：内表面 $-q'$，外表面 $Q + q'$（电荷守恒）
思路分析
A 球接地→$V_A = 0$。列出 A 球电势由所有电荷贡献的方程，解出 $q'$。注意 A 球电荷不再是原来的 $q$，接地后电荷可以流入大地。
易错点
- 接地后 A 球电荷改变，不再是原来的 $q$
- 忘记球壳外表面电荷为 $Q + q'$（而非 $Q$）
- 电势叠加时注意各电荷到 A 球的距离
🔄 举一反三
- 若 A 球不接地，A 球带电量仍为 $q$，则 A 球电势为多少？
查看练习答案与解析
答案：$V_A = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}\right) + \dfrac{Q + q}{4\pi\varepsilon_0 c}$解析：A 球不接地，电荷仍为 $q$。球壳内表面感应 $-q$，外表面 $Q + q$。$V_A = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 a} + \dfrac{-q}{4\pi\varepsilon_0 b} + \dfrac{Q + q}{4\pi\varepsilon_0 c}$。
4.（3 分）有一根无限长直导线绝缘地紧贴在圆形线圈的直径上，则直导线与圆形线圈间的互感系数为______。
查看答案与解析
答案：$0$
解析：
无限长直导线沿圆形线圈的直径放置。直导线产生的磁场 $\vec{B} = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$，方向为环绕导线的同心圆。
对于圆形线圈平面，直导线将其分为两半。在对称位置上，一侧的磁通量为正，另一侧为负，大小相等、符号相反，总磁通量为零。
因此互感系数 $M = \Phi/I = 0$。
难度: ⭐⭐ 考点: #互感 #磁通量 #对称性
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 互感系数：$M = \Phi_{12}/I_1$
- 无限长直导线磁场：$B = \mu_0 I/(2\pi r)$
- 磁通量：$\Phi = \int \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}$
思路分析
直导线沿直径放置，利用对称性分析：线圈被分为两半，磁通量等大反号，总和为零。
易错点
- 误认为直导线穿过线圈就有磁通量
- 忽略磁场方向在线圈两侧相反
🔄 举一反三
- 若直导线不沿直径，而是偏离圆心距离 $d$（$d < R$），互感系数是否仍为零？
查看练习答案与解析
答案：不为零 解析：偏离圆心后，两侧面积不再对称，正负磁通量不能完全抵消，互感系数 $M \neq 0$。
5.（4 分）一半径为 $a$、电阻为 $R$ 的单匝圆形线圈位于直角坐标系中的 $xy$ 平面内，其圆心位于原点；平行于 $z$ 轴有一磁感应强度为 $B_0 \mathrm{e}^{-\beta t}$ 的均匀磁场，其中 $B_0$、$\beta$ 为常数，$t$ 为时间。假设忽略线圈自感，$t$ 时刻线圈中的感应电流为______；当磁场降为零时，通过线圈某一截面的电量为______。
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答案：$\dfrac{\pi a^2 \beta B_0}{R} \mathrm{e}^{-\beta t}$，$\dfrac{\pi a^2 B_0}{R}$
解析：
第一步：求感应电流
磁通量：$\Phi = B \cdot S = B_0 \mathrm{e}^{-\beta t} \cdot \pi a^2$
感应电动势：
感应电流：
第二步：求通过截面的电量
磁场从 $t=0$ 降为零（$t \to \infty$）：
或直接用公式：$q = \dfrac{|\Delta\Phi|}{R} = \dfrac{\pi a^2 B_0}{R}$
难度: ⭐⭐ 考点: #法拉第定律 #感应电流 #感应电量
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📖 相关公式与知识点:
- 法拉第定律：$\varepsilon = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$
- 感应电流：$I = \varepsilon/R$
- 感应电量：$q = \dfrac{|\Delta\Phi|}{R}$（与磁通量变化量有关，与变化快慢无关）
思路分析
感应电流与 $\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$ 成正比（与变化率有关），感应电量与 $\Delta\Phi$ 成正比（与变化量有关）。
易错点
- 混淆感应电流和感应电量的计算方法
- 感应电量只与磁通量变化量有关，与变化快慢无关
🔄 举一反三
- 若磁场变化规律为 $B = B_0(1 - \mathrm{e}^{-\beta t})$，$t \to \infty$ 时通过截面的电量为多少？
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答案：$\dfrac{\pi a^2 B_0}{R}$解析：$q = |\Delta\Phi|/R = \pi a^2(B_\infty - B_0)/R = \pi a^2 B_0/R$。感应电量只取决于始末磁通量之差。
6.（4 分）如图所示为一圆柱体的横截面，圆柱体内有一均匀电场 $\vec{E}$，其方向垂直纸面向内，$\vec{E}$ 的大小随时间 $t$ 线性增加，$P$ 为柱体内与轴线相距为 $r$ 的一点，则 $P$ 点的位移电流密度的方向为______；$P$ 点感生磁场的方向为______。
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答案：（垂直纸面）向里；（垂直 $OP$ 连线）向下
解析：
第一步：位移电流密度方向
位移电流密度：
$\vec{E}$ 垂直纸面向内且随时间增加，所以 $\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ 方向也是垂直纸面向内，$\vec{j}_d$ 方向也是垂直纸面向里。
第二步：感生磁场方向
由麦克斯韦方程 $\oint \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \mu_0 \int \vec{j}_d \cdot \mathrm{d}\vec{S}$，位移电流向里，由右手定则，感生磁场方向为顺时针（从纸面外侧看）。在 $P$ 点，磁场方向垂直于 $OP$ 连线向下。
难度: ⭐⭐ 考点: #位移电流 #麦克斯韦方程 #感生磁场
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📖 相关公式与知识点:
- 位移电流密度：$\vec{j}_d = \varepsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}$
- 麦克斯韦-安培定律：$\oint \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \mu_0(I + I_d)$
- 右手定则：拇指沿位移电流方向，四指弯曲方向为磁场方向
思路分析
先由 $\vec{E}$ 随时间变化确定位移电流密度方向，再用右手定则确定感生磁场方向。
易错点
- 位移电流密度方向与 $\mathrm{d}\vec{E}/\mathrm{d}t$ 方向相同，不是与 $\vec{E}$ 方向相同
- 感生磁场的右手定则方向判断错误
🔄 举一反三
- 若 $\vec{E}$ 随时间线性减小（方向仍向内），位移电流密度和感生磁场方向如何变化？
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答案：位移电流密度垂直纸面向外，感生磁场方向变为逆时针（$P$ 点垂直 $OP$ 向上） 解析：$\mathrm{d}\vec{E}/\mathrm{d}t$ 方向向外（与 $\vec{E}$ 相反），所以 $\vec{j}_d$ 向外。右手定则判断磁场为逆时针。
7.（3 分）一个原子钟被放置在北极，而另一个同样的原子钟被放置在赤道。经过一年的时间后，它们的时间相差为______s。（地球的半径为 $6.38 \times 10^6 \ \mathrm{m}$）
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答案：约 $3.8 \times 10^{-5} \ \mathrm{s}$
解析：
赤道处的原子钟随地球自转运动，速度为：
由狭义相对论时间膨胀效应，赤道钟比北极钟慢：
难度: ⭐⭐ 考点: #狭义相对论 #时间膨胀 #地球自转
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📖 相关公式与知识点:
- 时间膨胀：$\Delta t' = \gamma \Delta t \approx \Delta t\left(1 + \dfrac{v^2}{2c^2}\right)$（低速近似）
- 运动时钟变慢：$\Delta\tau = \Delta t - \Delta t' \approx \Delta t \cdot \dfrac{v^2}{2c^2}$
- 地球自转速度：$v = 2\pi R/T \approx 463 \ \mathrm{m/s}$
思路分析
北极钟静止，赤道钟运动。用时间膨胀公式计算一年内的时间差。$v \ll c$，用低速近似。
易错点
- 忘记将一年换算为秒
- 近似公式 $\gamma \approx 1 + v^2/(2c^2)$ 仅在 $v \ll c$ 时成立
🔄 举一反三
- 若将原子钟放在以 $800 \ \mathrm{m/s}$ 速度飞行的飞机上，一年后与地面钟差多少？
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答案：约 $1.1 \times 10^{-4} \ \mathrm{s}$解析：$\Delta\tau = 3.156 \times 10^7 \times \dfrac{(800)^2}{2 \times (3 \times 10^8)^2} = 3.156 \times 10^7 \times 3.56 \times 10^{-12} \approx 1.12 \times 10^{-4} \ \mathrm{s}$。
8.（3 分）波长 $\lambda = 632.8 \ \mathrm{nm}$ 的氦氖激光器所发红光沿 $x$ 轴正向传播。已知它的光子 $x$ 坐标的不确定量为 $400 \ \mathrm{km}$。则利用不确定关系式 $\Delta p_x \Delta x \geq h$，谱线宽度 $\Delta\lambda =$ ______nm。
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答案：$1.00 \times 10^{-9} \ \mathrm{nm}$
解析：
由不确定关系 $\Delta p_x \cdot \Delta x \geq h$，取等号：
光子动量 $p = h/\lambda$，取微分：
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #不确定性原理 #光子动量 #谱线宽度
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📖 相关公式与知识点:
- 不确定关系：$\Delta p_x \cdot \Delta x \geq h$
- 光子动量：$p = h/\lambda$
- 动量与波长关系：$|\Delta\lambda| = \dfrac{\lambda^2}{h}\Delta p = \dfrac{\lambda^2}{\Delta x}$
思路分析
由不确定关系求 $\Delta p$，再由 $p = h/\lambda$ 的微分关系将 $\Delta p$ 转换为 $\Delta\lambda$。
易错点
- $\Delta\lambda$ 与 $\Delta p$ 的关系：$|\Delta\lambda| = \lambda^2 \Delta p / h$，不是 $\Delta\lambda = \Delta p / h$
- 单位换算：$1 \ \mathrm{m} = 10^9 \ \mathrm{nm}$
🔄 举一反三
- 若光子位置不确定量减小到 $40 \ \mathrm{km}$，谱线宽度变为多少？
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答案：$1.00 \times 10^{-8} \ \mathrm{nm}$解析：$\Delta x$ 减小 10 倍，$\Delta p$ 增大 10 倍，$\Delta\lambda$ 也增大 10 倍：$\Delta\lambda = 1.00 \times 10^{-8} \ \mathrm{nm}$。
9.（3 分）质量为 $m$ 的静止氢原子辐射波长为 $\lambda$ 的光子后，氢原子的速度大小为______。
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答案：$\dfrac{h}{m\lambda}$
解析：
氢原子初始静止，辐射光子后由动量守恒：
光子动量 $p = h/\lambda$，所以：
难度: ⭐ 考点: #动量守恒 #光子动量 #氢原子辐射
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📖 相关公式与知识点:
- 光子动量：$p = h/\lambda$
- 动量守恒：$\sum \vec{p}_{初} = \sum \vec{p}_{末}$
- 辐射反冲：原子辐射光子后获得反冲动量
思路分析
直接应用动量守恒。初始动量为零，辐射后光子和氢原子动量等大反向。
易错点
- 忘记光子有动量（光子无质量但有动量 $p = h/\lambda$）
- 忽略反冲效应（当原子质量大时反冲速度小，但原理上不为零）
🔄 举一反三
- 氢原子辐射光子后，其动能与光子能量之比为多少？
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答案：$E_k/E_{光子} = h/(2mc\lambda) \ll 1$解析：$E_k = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{h^2}{2m\lambda^2}$，$E_{光子} = hc/\lambda$，$\dfrac{E_k}{E_{光子}} = \dfrac{h}{2mc\lambda} \ll 1$（反冲动能远小于光子能量）。
三、计算题（共 40 分）
1.（10 分）如图所示，一无限大均匀带电平面，电荷面密度为 $\sigma$，在其上挖去一个半径为 $R$ 的圆孔，求通过圆孔中心 $O$ 并与带电平面垂直的直线上一点 $P$（$OP = x$）处的电场强度。
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答案：$E = \dfrac{\sigma x}{2\varepsilon_0\sqrt{R^2 + x^2}}$，方向沿 $OP$ 连线
解析：
利用补偿法：将圆孔视为一个面密度 $+\sigma$ 的圆盘与一个面密度 $-\sigma$ 的圆盘叠加。
第一步：无限大带电平面的电场
方向沿 $x$ 轴正方向（$P$ 在平面上方）。
第二步：圆孔（面密度 $-\sigma$）在 $P$ 点产生的电场
均匀带电圆盘轴线上一点的电场：
方向沿 $x$ 轴负方向（$-\sigma$）。
第三步：叠加
验证：当 $R \to \infty$ 时，$E \to \sigma/(2\varepsilon_0)$；当 $x \to 0$ 时，$E \to 0$。均合理。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #补偿法 #均匀带电圆盘 #电场叠加
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📖 相关公式与知识点:
- 无限大均匀带电平面电场：$E = \sigma/(2\varepsilon_0)$
- 均匀带电圆盘轴线电场：$E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \dfrac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}}\right)$
- 补偿法：将"挖去"等效为叠加一个相反电荷
思路分析
补偿法是处理"挖去"类问题的标准方法。将带孔平面等效为完整平面 + 反号圆盘，分别计算再叠加。
易错点
- 补偿法中圆盘电荷密度取 $-\sigma$（与原平面相反）
- 圆盘电场公式中 $x$ 的正负号与方向对应
- 忘记验证极限情况
🔄 举一反三
- 若在无限大平面上挖去一个边长为 $a$ 的方形孔，中心轴线上距平面 $x$ 处的电场强度如何？
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答案：$E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} - E_{方形}$，其中 $E_{方形}$ 需用积分计算 解析：同样用补偿法，但方形孔的电场没有简单的闭合形式，需要积分计算。方形可以分解为两条无限长带电窄条的叠加。
2.（8 分）一无限长直导线通有电流 $I$，在导线旁边有一矩形线框（宽为 $a$，长为 $b$），线框与导线共面，其近边与导线相距为 $c$，求通过线框的磁通量以及二者间的互感系数。
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答案：$\Phi = \dfrac{\mu_0 I b}{2\pi}\ln\dfrac{c+a}{c}$，$M = \dfrac{\mu_0 b}{2\pi}\ln\dfrac{c+a}{c}$
解析：
无限长直导线的磁场：
在线框内距导线 $r$ 处取一宽为 $\mathrm{d}r$ 的窄条，面积 $\mathrm{d}S = b\,\mathrm{d}r$：
积分：
互感系数：
难度: ⭐⭐ 考点: #磁通量 #互感 #安培环路定理
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📖 相关公式与知识点:
- 无限长直导线磁场：$B = \mu_0 I/(2\pi r)$
- 磁通量：$\Phi = \int \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}$
- 互感系数：$M = \Phi/I$
思路分析
磁场非均匀，需积分计算磁通量。选取与导线平行的窄条作为积分微元，每个窄条内磁场近似均匀。
易错点
- 积分限为 $c$ 到 $c+a$，不是 $0$ 到 $a$
- $\ln$ 函数的变量不能约去 $I$（$\Phi$ 中含 $I$，但 $M$ 中不含）
🔄 举一反三
- 若线框不与导线共面，而是绕近边旋转了角度 $\theta$，互感系数如何变化？
查看练习答案与解析
答案：$M = \dfrac{\mu_0 b \cos\theta}{2\pi}\ln\dfrac{c+a\cos\theta}{c}$（近似） 解析：旋转后，线框面积在垂直于磁场方向的投影减小。精确计算需要考虑各点到导线距离的变化，较为复杂。小角度近似下，有效面积乘以 $\cos\theta$。
3.（8 分）如图所示，一长直导线载有电流 $I$，在其旁有一与之共面的矩形线圈，其宽为 $a$，长为 $b$，线圈以速度 $\vec{v}$ 向右运动。求线圈在任意时刻 $t$ 的感应电动势。
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答案：$\varepsilon = \dfrac{\mu_0 Iabv}{2\pi(c+vt)(c+a+vt)}$
解析：
设 $t$ 时刻线圈近边距导线为 $d = c + vt$，远边距导线为 $d + a = c + a + vt$。
磁通量：
感应电动势：
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #法拉第定律 #动生电动势 #磁通量
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📖 相关公式与知识点:
- 法拉第定律：$\varepsilon = -\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$
- 磁通量随时间变化：线圈运动导致 $\Phi(t)$ 变化
- 复合函数求导：$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln\dfrac{f(t)}{g(t)} = \dfrac{f'}{f} - \dfrac{g'}{g}$
思路分析
先写出任意时刻 $t$ 的磁通量 $\Phi(t)$，再对 $t$ 求导得到感应电动势。关键是正确表达线圈位置随时间变化的关系。
易错点
- $\ln$ 函数对 $t$ 求导时，分子分母都要对 $t$ 求导
- 注意电动势方向（由法拉第定律的负号决定）
🔄 举一反三
- 若线圈以恒定加速度 $a_0$ 从静止开始运动，$t$ 时刻的感应电动势如何？
查看练习答案与解析
答案：$\varepsilon = \dfrac{\mu_0 I a b a_0 t}{2\pi(c+\frac{1}{2}a_0 t^2)(c+a+\frac{1}{2}a_0 t^2)}$解析：将 $vt$ 替换为 $\frac{1}{2}a_0 t^2$，其余推导相同。$d = c + \frac{1}{2}a_0 t^2$，$\frac{\mathrm{d}d}{\mathrm{d}t} = a_0 t$。
4.（8 分）一电子在 $B = 7.0 \times 10^{-3} \ \mathrm{T}$ 的均匀磁场中做圆周运动，圆的半径为 $r = 3.0 \ \mathrm{cm}$。已知电子质量 $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \ \mathrm{kg}$，电子电荷 $e = 1.6 \times 10^{-19} \ \mathrm{C}$，$h = 6.63 \times 10^{-34} \ \mathrm{J \cdot s}$。求该电子的德布罗意波长。
查看答案与解析
答案：$\lambda = 1.0 \times 10^{-8} \ \mathrm{m}$
解析：
第一步：求电子速度
电子在均匀磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力：
第二步：验证非相对论近似
$v/c = 3.69 \times 10^7 / 3 \times 10^8 \approx 0.123$，略大于 0.1，非相对论近似基本可用。
第三步：求德布罗意波长
或者用更精确的公式：
难度: ⭐⭐ 考点: #德布罗意波 #洛伦兹力 #圆周运动
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 德布罗意波长：$\lambda = h/p = h/(mv)$
- 洛伦兹力提供向心力：$qvB = mv^2/r$
- 电子速度：$v = eBr/m_e$
思路分析
先由圆周运动条件求电子速度（动量），再代入德布罗意公式求波长。可以合并为 $\lambda = h/(eBr)$。
易错点
- 需要验证 $v \ll c$ 以确认非相对论近似成立
- 单位换算：$r = 3.0 \ \mathrm{cm} = 3.0 \times 10^{-2} \ \mathrm{m}$
- 若 $v$ 接近 $c$，需用相对论动量 $p = \gamma m_e v$
🔄 举一反三
- 若电子速度接近光速（$v = 0.9c$），德布罗意波长为多少？
查看练习答案与解析
答案：$\lambda = \dfrac{h}{\gamma m_e v} \approx 5.4 \times 10^{-13} \ \mathrm{m}$解析：$\gamma = 1/\sqrt{1-0.81} = 1/\sqrt{0.19} \approx 2.294$，$p = \gamma m_e v = 2.294 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 2.7 \times 10^8 = 5.64 \times 10^{-22} \ \mathrm{kg \cdot m/s}$，$\lambda = 6.63 \times 10^{-34}/5.64 \times 10^{-22} \approx 1.18 \times 10^{-12} \ \mathrm{m}$。
5.（6 分）设有一电子在宽度为 $a$ 的一维无限深势阱中运动，求电子在基态和第一激发态的概率密度分布函数和概率密度最大的位置。若势阱宽度 $a = 1.0 \times 10^{-10} \ \mathrm{m}$，求基态能量。
查看答案与解析
答案：基态 $|\psi_1|^2 = \dfrac{2}{a}\sin^2\dfrac{\pi x}{a}$，最大在 $x = a/2$；第一激发态 $|\psi_2|^2 = \dfrac{2}{a}\sin^2\dfrac{2\pi x}{a}$，最大在 $x = a/4$ 和 $x = 3a/4$；基态能量 $E_1 \approx 6.0 \times 10^{-18} \ \mathrm{J} \approx 37.6 \ \mathrm{eV}$
解析：
第一步：波函数
一维无限深势阱的波函数：
第二步：概率密度
基态（$n = 1$）：
$\sin^2(\pi x/a)$ 在 $x = a/2$ 处取最大值 1，所以概率密度最大位置为 $x = a/2$。
第一激发态（$n = 2$）：
$\sin^2(2\pi x/a)$ 在 $2\pi x/a = \pi/2, 3\pi/2$ 时取最大值，即 $x = a/4$ 和 $x = 3a/4$。
第三步：基态能量
换算为 eV：
难度: ⭐⭐ 考点: #无限深势阱 #概率密度 #能级
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 波函数：$\psi_n(x) = \sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\dfrac{n\pi x}{a}$
- 概率密度：$|\psi_n|^2 = \dfrac{2}{a}\sin^2\dfrac{n\pi x}{a}$
- 能级：$E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8ma^2}$
- 概率密度最大值出现在 $\sin^2$ 取 1 的位置
思路分析
直接代入一维无限深势阱的标准公式。概率密度最大位置即 $\sin^2$ 取最大值 1 的位置，由 $\sin(n\pi x/a) = \pm 1$ 解出。
易错点
- $n = 2$ 时有两个概率密度最大位置，不要遗漏
- 能量单位换算：$1 \ \mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-19} \ \mathrm{J}$
- 概率密度最大位置不是节点位置（节点处概率密度为零）
🔄 举一反三
- 求 $n = 3$ 态的概率密度最大位置和节点位置。
查看练习答案与解析
答案：最大位置 $x = a/6, a/2, 5a/6$；节点位置 $x = a/3, 2a/3$解析：$|\psi_3|^2 = \dfrac{2}{a}\sin^2\dfrac{3\pi x}{a}$，最大值在 $\sin(3\pi x/a) = \pm 1$，即 $3\pi x/a = \pi/2, 3\pi/2, 5\pi/2$，解得 $x = a/6, a/2, 5a/6$。节点在 $\sin(3\pi x/a) = 0$（不含端点），即 $x = a/3, 2a/3$。